第十章        側向土壓力 (Lateral Earth Pressure)

 

  在基礎工程中,常用擋土牆、地下室牆等來支撐土體或幾近垂直的邊坡。設計這些擋土結構的第一個步驟,是計算作用於擋土結構上的力。由於來自於土體或邊坡的力,作用在直立或近乎直立的擋土結構的側邊,因此稱為側向土壓力。

 

 

10.1          靜止土壓力(Earth pressure at rest

  在如圖10.1的土體,此土體被一延續至無限深的光滑牆面AB所拘限。在深度z的土壤,除了受到垂直壓力外,尚有水平方向的壓力作用。

  如果AB牆面靜止不動,則土體處於平衡狀態,其水平(側向)應力與垂直應力的比值稱為靜止土壓力係數(Coefficient of earth pressure at rest),,或以方程式表示如

【式10.1

  由於深度z處的土壤受到覆蓋在它上面的覆土重,因此垂直應力,,為土壤單位重與深度的乘積,。將其代入10.1式得靜止側向土壓力

【式10.2

依據試驗觀察,土壤的靜止土壓力係數可依如下關係式求得:

A.           粗粒土壤(coarse-grained soils

a.           疏鬆砂土(loose sand

         【式10.3   by Jaky

b.           緊密砂土(dense sand

    【式10.4 by Sherif等人

B.           細粒土壤(fine-grained soils

a.           正常壓密黏土(normally consolidated clays

               【式10.5

             【式10.5a

b.           過壓密黏土(overconsolidated clays

         【式10.6

           【式10.6a

 

  10.2式可見土壤的側向土壓力與深度成正比,因此在如圖10.2深度H的牆面上其應力為隨深度呈線性分佈,總力即為應力分佈的積分或應力分佈區的面積,所以

        【式10.8

 

部分浸水土壤的靜止土壓力

重點:

1.     上述土壤側向應力與垂直應力間的關係源自於顆粒間接觸力;因此更明確的表示土壓力係數,應為土壤側向有效應力與垂直有效應力的比值。

2.     水位下深度z處的水壓力為水的單位重與深度的乘積(),而且每個方向的壓力都相等。

 

如圖10.3a高度為H的牆水位在地面下處如果牆的另一面沒有水的注入則

深度

垂直有效

應力,

孔隙水壓

側向有效

應力,

總側向應力

0

 

 

深度時,

總側向應力 =+ 【式10.12

每單位寬度的牆受力為應力圖的面積,

      【式10.13

 

 

 

10.2          蘭金主動土壓力定理(Rankine’s theory of active pressure

  在如圖10.4的土體,此土體被一延續至無限深的光滑牆面AB所拘限。如果AB牆面靜止不動,則土體處於平衡狀態,由10.1節的定義,其垂直應力與側向應力各為。在圖10.4b的應力圖上為a的莫爾圓,由於土壤尚未達破壞,因此應力莫爾圓並未與破壞包絡線相交。

  如果將AB牆面逐漸向離開土體的方向移動,則作用於牆面上的側向力也將逐漸減小,其應力莫爾圓也將逐漸擴大(保持不變,向左移動)。最後應力莫爾圓將與破壞包絡線相切,此時土體應力已達破獲,此應力莫爾圓即為破壞應力莫爾圓(圖10.4bb圓)。的即為第九章的,兩者關係可由如下推導而得

 

    

              【式9.6

        【式9.7

主動側向土壓力與深度的關係如圖10.4c所示。由圖10.4b可見,土體是沿著與最大主應力的作用面成角度的平面發生剪力破壞。由於最大主應力作用於水平方向,因此剪力破壞面如圖10.4d,稱為潛在滑動面(potential slip planes)。

  對無凝聚力的土壤10.15式可寫成

      【式10.16

有效應力的比值稱為蘭金主動土壓力係數(coefficient of Rankine’s active earth pressure),或

 

 

10.3          蘭金被動土壓力定理(Rankine’s theory of passive pressure

  在如圖10.5a的土體,此土體被一延續至無限深的光滑牆面AB所拘限。如果AB牆面靜止不動,則土體處於平衡狀態,由10.1節的定義,其垂直應力與側向應力各為。在圖10.4b的應力圖上為a的莫爾圓,由於土壤尚未達破壞,因此應力莫爾圓並未與破壞包絡線相交。

  如果將AB牆面逐漸向土體的方向移動,則作用於牆面上的側向力也將逐漸增大,其應力莫爾圓也將逐漸縮小(保持不變,向右移動)至一點(座標0);然後側向應力大於垂直應力(保持不變,繼續向右移動),此時最大主應力是。最後應力莫爾圓將與破壞包絡線相切,此時土體應力已達破獲,此應力莫爾圓即為破壞應力莫爾圓(圖10.5bb圓)。的即為第九章的,兩者關係可由應力圖10.5b的三角形ACD推導而得

    

              【式9.6

        【式10.18

被動側向土壓力與深度的關係如圖10.5c所示。由圖10.5b可見,土體破壞面與最大主應力的作用面成角度。由於最大主應力作用於垂直方向,因此剪力破壞面如圖10.5d與水平成角度。

  對無凝聚力的土壤10.18式可寫成

      【式10.16

有效應力的比值稱為蘭金被動土壓力係數(coefficient of Rankine’s passive earth pressure),或

 

10.3a  背填土為斜坡的Rankine主被動土壓力

 

A. 主動土壓力

 與土壤間無摩擦力的牆背之填土與水平夾角,取深度z處寬度為1單位的菱形單元。此單元兩邊為垂直,另2邊與水平夾角。垂直應力及主動土壓力與各作用邊都呈角如圖a。由於並非垂直於作用面,因此它們都不是主應力。

作用於AB面上的應力=,此應力在應力圖上為AOA線段長即為。當牆作離開土壤方向的移動時,側向土壓力降低,最後土壤達破壞之應力莫爾圓,則與破壞包絡線相切於F點。由於側向土壓力降低至破壞值,故應力莫爾圓上側向應力在A點的左方。

A點畫出AB面的平行線,此平行線再與莫爾圓的交點即為極點B’,從極點B’畫垂直線交莫爾圓於B點,B點的應力就是作用在垂直面BC的應力

依據定義,則

OCD可得,

OCF可得,;又圓半徑

ADC可得,

=

=

主動土壓力

* ==,作用於平行坡面的方向(與水平夾角)

 

主動土壓力也可表示成

==

 

B. 被動土壓力

作用於AB面上的應力=,此應力在應力圖上為B’OB’線段長即為。當牆作壓迫土壤方向的移動時,側向土壓力升高,最後土壤達破壞之應力莫爾圓,則與破壞包絡線相切於F點。由於側向土壓力升高至破壞值,故應力莫爾圓上側向應力在B’點的右方。

B’點畫出AB面的平行線,此平行線再與莫爾圓的交點即為極點A,從極點A畫垂直線交莫爾圓於A’點,A’點的應力就是作用在垂直面BC的應力

依據定義,則

A節可得

=

被動土壓力

   ==,作用於平行坡面的方向(與水平夾角)

 

被動土壓力也可表示成

*      ==

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.4          牆側向位移對土壓力的影響

  10.21.03節可見,當擋土牆靜止時土壤是處於彈性平衡狀態(此時側向土壓力稱為靜止土壓力)。如果擋土牆作離開土體的運動,則土壤作用於擋土牆的側向土壓力漸減,直到土壤破壞(此時側向土壓力稱為主動破壞)。如果擋土牆向著土體移動,則土壤作用於擋土牆的側向土壓力漸增,直到土壤破壞(此時側向土壓力稱為被動破壞)。

  由此可見牆面的運動(量與方向)影響土壤作用於擋土牆的壓力甚大。方程式10.1510.18為土壤破壞時,土壤作用於擋土牆的壓力,在土壤達到破壞前,土壤作用於擋土牆的壓力小於方程式10.1510.18所計算的值。

  一般擋土牆的運動模式為以底部為支撐的轉動。如圖10.7a高度為H的牆,牆頂離開原來位置的距離。隨著值的增加,土壤作用於擋土牆的側向土壓力漸減,直到土壤達主動破壞,其變化如圖10.8所示。)

  當牆頂向著土體壓縮的距離。隨著值的增加,土壤作用於擋土牆的側向土壓力漸增,直到土壤達被動破壞,其變化如圖10.8所示。 

  土壤達主動破壞或被動破壞,牆頂都需有相當的位移量,表10.1為不同土壤達主動破壞或被動破壞時,的比值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.5          擋土牆背側向土壓力分佈圖

 

A.           無凝聚力回填土

  如圖10.9高度為H的牆,無凝聚力回填土(c=0)的單位重與摩擦角各為。在深度zRankine主動土壓力,因此主動土壓力隨深度呈線性分佈,在地表處,在深度H處為。每單位寬度作用於牆上的總力為三角形分佈應力的面積,即

         【式10.21

同樣的,在深度zRankine被動土壓力,因此被動土壓力隨深度呈線性分佈,在地表處,在深度H處為。每單位寬度作用於牆上的總力為三角形分佈應力的面積,即

         【式10.23

 

 

B.           無凝聚力回填土上有單位面積q的分佈載重

  在深度zRankine主動土壓力,因此主動土壓力隨深度呈線性分佈,在地表處,在深度H處為。每單位寬度作用於牆上的總力為梯形分佈應力的面積,即

         【式10.21a

同樣的,在深度zRankine被動土壓力,因此被動土壓力隨深度呈線性分佈,在地表處,在深度H處為。每單位寬度作用於牆上的總力為梯形分佈應力的面積,即

         【式10.23a

 

C.           部分浸水之無凝聚力回填土上有單位面積q的分佈載重

 

  如圖10.10a)高度H的光滑牆,地下水位在地表下H1處,回填土上有單位面積q的分佈載重。

 

a.           主動應力

  在任何深度z處有效主動土壓力為

 

深度   垂直有效  孔隙水壓   有效主動     總側向應力 

       應力,            應力,        

 

          0                 

 

    

 

           

 

深度時,

總側向應力 =+

每單位寬度的牆受力為應力分佈圖的面積,

      【式10.32

 

b.  被動應力

  在任何深度z處有效被動土壓力為,隨深度分佈的垂直有效應力、孔隙水壓、被動土壓力、以及總側向土壓力如同a部分的計算,每單位寬度的牆受力為應力分佈圖的面積,

     【式10.33

 

D.           凝聚性回填土(cohesive backfill

 

a.     主動應力

作用於如圖10.12a光滑擋土牆上的主動土壓力,在深度z處為

主動土壓力的分佈可分為:(1)與深度呈正比的三角形分佈,(2)不隨深度改變的矩形分佈。其分佈圖如圖10.12b-d

 每單位寬度的牆受力為應力分佈圖的面積,

         【式10.37

狀況

              【式10.37a

a.1 張力裂縫深度

於地表處,主動土壓力,代表此處土壤作用於擋土牆上的力為拉力而非壓力。

由方程式10.37也可見到作用於擋土牆上的拉力隨深度增加而降低,到處為0值可令,得

             【式10.34

對不排水狀況(),

              【式10.35

由於土壤與擋土牆之間為自然接觸,因此當擋土牆作離開土壤的移動時,移動初期土壤的凝聚力將對擋土牆有拉住的作用;但隨著移動量的增加擋土牆與土壤終將分離。此分離的深度即為,稱為張力裂縫(tensile crack)。

 

a.2 考量張力裂縫發生時的主動土壓

  張力裂縫發生後擋土牆與土壤已經分離,土壤對擋土牆的作用力只剩下介於H的壓力,因此每單位寬度的牆受力,為應力分佈圖10.12d的下半部三角形面積,

          【式10.38

 

對不排水狀況(),

            【式10.39

 

b. 被動應力

作用於如圖10.13a光滑擋土牆上的被動土壓力,在深度z處為

被動土壓力分佈可分為:(1)與深度呈正比的三角形分佈,(2)不隨深度改變的矩形分佈。其分佈圖如圖10.13b

每單位寬度的牆受力為應力分佈圖的面積,

         【式10.42

狀況,

              【式10.43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.6  來自於載重(surcharges)的側向土壓力

  前幾節只計算來自土壤以及均勻分佈於牆後的載重所產生的側向土壓力,當牆後有點、線、或長條形分佈的載重時,擋土牆所受的側向力也將增加。

A.           點荷重(Point load

 當點荷重Q作用於地表,假設土壤為彈性其波生比,則離荷重作用點x的水平距離,深度z處的水平方向應力為(圖10.19a

           【式10.44

  x=mH,及z=nH代入上式可得

        【式10.45

10.45為彈性力學解,根據實驗探討,當考量側向受到束制時,側向力作用下作如下的修正以符合觀測結果:

 

a. m0.4

           【式10.46

 

b. m0.4

            【式10.47

10.19bn值與的關係。

 

 

B.           線荷重(Line-load surcharge

  當與牆面平行方向有一線荷重q(單位長度)作用於離牆x距離處(圖10.20a),則在深度為z的牆面受力為(考量側向受到束制時):

 

a. m0.4

           【式10.48

 

b. m0.4

            【式10.49

10.20bn值與的關係。

 

C.           條形荷重(Strip-load surcharge

  寬度為,單位面積荷重為q的載重,平行作用於牆背(圖10.21),依據彈性力學理論,深度z處作用於牆背上的側向應力為:

         【式10.50

考量側向受到束制時,式10.50修正為

         【式10.51

10.21顯示隨深度之變化分佈圖。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.7  庫倫土壓力理論(Coulomb’s earth pressure theory

  本節介紹以庫倫土壓力理論所推導,無凝聚力土壤(c=0)作用於擋土牆上的主動及被動土壓力的方法。

  庫倫土壓力理論的特點為:

1.      假設土體的破壞面為一平面,

2.      可包括土壤與牆面間摩擦力的考量。

A.  主動狀況

  傾斜的擋土牆面支撐顆粒狀土壤之邊坡,地表與水平夾角的坡度。假設破壞是沿著平面發生,破壞的楔形向著左下方向滑落,則作用於可能破壞的楔形的力有:

1.      楔形的土重,W

2.      未破壞土體部分對楔形土壤的作用力,,此力為作用於平面上的正向力與剪力的合力,其作用方向與線夾角。由於楔形相對於未破壞土體部分為往下滑,因此未破壞土體作用於楔形上的剪力為向上,故合力如圖10.23的方向;

3.      擋土牆作用於楔形上的力,,此力亦為楔形土壤推牆的力,稱為主動力。楔形相對於牆面為往下滑動,故作用於楔形的摩擦力為向上,因此合力的方向如圖10.23,與牆背呈角。

 

由於所有作用於楔形上的力達到平衡,因此以所畫的力多邊形為封閉的三角形。利用三角形的正弦定律(Law of sines),可得各力與夾角之間的關係

          【式10.52

            【式10.53

其中

 

由三角形ABC的正弦定律

可得

  

所以

W代入10.53

         【式10.54

10.54式中,等皆為土壤、擋土牆、及邊坡的特性。對一已知上述特性的工程,主動土壓力為何?則取決於值的大小,而值即在定義破壞面

  當我們設計擋土牆時,必需找出土壤發生主動破壞前,可能作用於牆背的最大推力。要找出對應於最大值的值,可由

得知等角度間的關係後,代入10.54

            【式10.56

其中

       【式10.57

*稱為庫倫主動土壓力係數。

 

(1)        當擋土牆牆背為垂直,填土為水平,土壤與牆背間無摩擦角時,Rankine土壓力係數相同。

(2)        10.2為牆背垂直,填土為水平*值與土壤與牆背間摩擦角及土壤內摩擦角的關係。

*  值相同時,值愈大*值愈小(同一行);

*值相同時(同一列),*值愈大*值也愈小(土壤與牆背間的摩擦行為會降低土壤作用在擋土牆的壓力);

(3)        10.3時,*值與等角度間的關係。

 

 

B. 被動狀況(Passive case

  10.24a為傾斜擋土牆後有無凝聚性填土示意圖,當牆向土壤方向移動時,土壤受到推擠,此推擠力也同時作用在擋土牆上。土壤所受到的推擠到一定程度時,即發生破壞稱為被動破壞。

  假設破壞面沿著平面發生,破壞的楔形向著右上方向滑動,則作用於可能破壞的楔形的力有:

1.    楔形的土重,W

2.    未破壞土體部分對楔形土壤的作用力,,此力為作用於平面上的正向力與剪力的合力,其作用方向與線夾角。由於楔形相對於未破壞土體部分為往上滑,因此未破壞土體作用於楔形上的剪力為向下,故合力如圖10.24的方向;

3.    擋土牆作用於楔形上的力,,此力亦為楔形土壤推牆的力,稱為被動力。楔形相對於牆面為往上滑動,故作用於楔形的摩擦力為向下,因此合力的方向如圖10.24,與牆背呈角。

 

仿照主動土壓力的方式,尋求最小的被動土壓力

         【式10.58

       【式10.59

 

稱為庫倫被動土壓力係數。

 

(1)        當擋土牆牆背為垂直,填土為水平,土壤與牆背間無摩擦角時,Rankine土壓力係數相同。

(2)        10.4為牆背垂直,填土為水平值與土壤與牆背間摩擦角及土壤內摩擦角的關係。

*  值相同時,值愈大值愈大(同一行);

*值相同時(同一列),*值愈大值也愈大(土壤與牆背間的摩擦行為會增加土壤對擋土牆的抵抗壓力);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.8 庫倫主動土壓力的圖解法

  庫門(Culmann)提出庫倫主動土壓力的圖解法,其特點為可以處理非規則形狀的填土,以及填土上的載重。其作法為將作用於楔形上的力所畫的力三角形(圖10.23b)直接畫在圖上,並找出的最大值。

 

A.     對非凝聚性土壤(c=0)的步驟如下:

1.     以適當的比例畫出擋土牆和填土的形狀;

2.     決定角度

3.     從牆趾畫一直線BDBD與水平夾角;

4.     從牆趾畫一與BD角的直線BE

5.     從牆趾畫一直線為假設的破壞面;

6.     計算假設破壞楔形的面積,及單位牆寬之土重

7.     以適當的載重比例畫在BD線上,即

8.     點畫BE的平行線,此平行線與相交於點;

9.     假設另外幾個破壞面等,重覆6-8的步驟。即:計算出等,並將這些值以相同的載重比例畫在BD線上,等。並畫出各與該假設破壞面相交的平行於BE的直線等;

10.   畫一通過的平滑曲線,稱為Culmann曲線;

11.   畫一與Culmann曲線相切並平行於BD的直線,其切點為

12.   畫一平行於BE的直線

13.   每單位牆寬的主動土壓力

14.   從牆趾畫一通過點的直線即為真正的破壞面。

  此繪畫法的基本步驟,為畫出作用於假設破壞楔形上的力所形成的三角形。以假設破壞面為例,的角度,角。因此即為作用於假設破壞楔形上的力三角形。9-12的步驟即在找出最大的值。

A.1 主動土壓力的合力作用點

  Culmann庫倫主動土壓力的圖解法,只提出作用在每單位寬度的擋土牆上力的解法,合力作用位置則未知。一個簡便的概略方法如下:

  如圖10.26BC為可能破壞面,則由破壞楔形的重心O點,畫一BC的平行線與牆背交於點即為的作用點,作用於點並與牆背的正交方向夾角。

 

 

B.     凝聚性土壤

Culmann相同之圖解技巧稱為嘗試楔形法(trial wedge),可用來求解凝聚性填土作用在擋土牆背之主動土壓力。

填土與牆背間之剪力強度可以式表示,為土壤與牆背間之凝聚力,則是兩者間的摩擦角。

一段時間後凝聚性土壤,在深度以上會發生張力裂縫。在估計作用於擋土牆背的主動土壓力時,將此發生張力裂縫現象考量進來的計算是比較安全的。作用在假設破壞楔形上的力如下:

1.     破壞楔形的土重(大小為、方向向下);

2.     牆背與填土間的凝聚力(大小、方向為沿著牆背向上[與垂直夾]);

3.     沿著破壞面上,土壤剪力強度中凝聚力的部分、方向為沿著破壞面向上[與水平夾]);

4.     沿著破壞面上,土壤剪力強度中正向力的部分(大小未知,方向與破壞面角向上,因此與垂直夾角);

5.     牆背作用在破壞楔形的主動壓力(大小未知,方向則與牆背夾角向上,故與垂直夾角)。

以上5個力形成封閉的多邊形,由於僅有2個未知數,故為可解。找出最大的主動壓力的作圖步驟如下:

1.     以適當的比例畫出擋土牆和填土的形狀;

2.     坡面下深度處畫一與坡面平行的直線

3.     角計算

4.     計算牆背與填土間的凝聚力

5.     假設的破壞面,與水平夾角;

6.     計算假設破壞楔形的面積,及土重

7.     計算沿著破壞面上,土壤剪力強度中凝聚力的部分

8.     計算

9.     定一適當的荷重比例;

10.   依荷重比例,畫

11.   依荷重比例,從a點畫與垂直夾角的

12.   依荷重比例,從b點畫與水平夾角的

13.   依荷重比例,從c點畫與垂直夾角的線(只知方向);

14.   依荷重比例,從點畫與垂直夾角的(只知方向)

15.   線與線相交於點;即為對應於假設破壞面的主動土壓力;

16.   假設不同的破壞面等,並重覆5-10的步驟,可以得到等主動土壓力;

17.   以平滑曲線連接等,

18.   畫與步驟17平滑曲線相切的垂直線,兩線相切於點;

19.   點畫一與垂直夾角的直線(此直線與等都平行),此直線交垂直線於點;

20.   最大主動土壓力即為

  ×荷重比例。

 

 

 

 

 

 

 

10.9