3-DEC程式軟體簡介
(a)step 1 (b) step 2
Fig. Failure Modes of Rock Mass Models
自然界岩體多處於真三軸應力(true-triaxial stress)狀態下，以往受限於分析工具與實驗設備，岩石工程之分析大多局限於二向度分析，對三維岩體行為之模擬則較少。例如目前可用於分析具大變形特性之離散岩體的程式如DDA、UDEC均局限於對二維問題的解析；而3DEC[4]程式係以個別元素法(distinct element method)在UDEC基礎下發展而成之數值分析程式，正可用以模擬三維節理岩體之力學行為。3DEC程式為美國ITASCA公司所發展之應用程式，以二維之UDEC應用程式為基礎，用個別元素法(Distinct Element Method，DEM)寫成之數值分析程式，可模擬三維節理岩體之力學行為。個別元素法之功能為：
(1)允許塊體產生有限位移及旋轉，並允許塊體間完全分離。
(2)在運算過程中，必需能自動判別各塊體間之接觸點。
(3)個別元素法可以模擬岩體在靜態或動態載重下之受力情況及位移。
3DEC將岩體視為由許多完整岩塊所組成，各完整岩塊間由岩體中之不連續面分隔，而各完整岩塊岩塊間之接觸面視為岩塊之邊界。完整岩塊可被模擬成剛體(rigid block)或可變形體(deformable block)，3DEC在模擬可變形岩塊時，將岩塊自動分割成許多次級塊體(sub-block)，每個次級塊體可配合所選用之材料組成律及外力作用情況，計算岩塊之受力及應力分佈情況。在節理的模擬方面，主要根據位移－作用力法則，計算岩塊在節理面上之剪應力及正向應力，作為岩塊之應力邊界條件，因此可模擬岩塊大位移與轉動之情況。3DEC之特點可歸納成數點：
(1)可模擬三維剛體或可變形岩體之力學行為。
(2)可模擬各種岩體介質在動態及靜態載重下之受力及位移。
(3)不連續面視為完整岩塊之邊界，即節理岩體之各個完整岩塊由不連續面分隔而成。
續性節理面上。
變形情況，並且可直接列印所觀測之應力及應變結果。
程式的運算主要以UDEC程式理論為基礎，根據牛頓第二定律及力-位移定律處理岩塊及節理面的力學行為。首先以牛頓第二定律計算塊體之運動，由已知的作用力求出岩塊運動的速度及位移，再配合力－位移定律，根據所求得的岩塊位移，計算出岩體中不連續面間的作用力，作為下一時階計算時所需的初始邊界條件。
依照岩塊變形行為的不同，可分為兩種情況：若岩塊為剛體(共有6個自由度~3個平移與3個轉動自由度)，由岩體及不連續面的邊界條件，可求出剛體形心點之合力與合力矩，其可作為下一時階計算中剛體的邊界條件。若岩塊為可變形體時，程式利用「edge」指令自行將岩塊細分成許多四面體狀的次級塊體，每個次級塊體的端點有三個移動自由度，計算這些次級塊體上節點之運動情形，然後使用材料組成律計算這些次級塊體之應力應變關係，可得塊體間之作用力，接著配合邊界所產生的接觸力(contact force)，計算新的合力與加速度，以作為下一時階計算中可變形岩塊之邊界條件。
個別元素法可以模擬一個由許多離散岩塊所組成的岩體之力學反應，所以個別元素法能夠有效模擬三維節理岩體複雜的力學行為與各離散岩塊間之相互作用。為有效地解決三維塊體間的相互作用，必需有一套能夠完全、快速地判別塊體接觸形態並且描述其幾何及物理特性的方法，在本文中稱之為塊體接觸判別邏輯(contact detection logic)。組成岩塊的次級塊體(或質點)可以為任意形狀，而且沒有限制次級岩塊的位移或轉動。在兩個相鄰的塊體之間，必須瞭解兩者的接觸情況，若塊體間沒有接觸，則必須求出塊體分離之最大裂隙(maximum gap)。塊體間之距離若大於此最大裂隙，則視兩相鄰塊體為分離；若兩塊體間之距離小於此最大裂隙，但實際上並沒有互相接觸，此種情形仍然視兩塊體為接觸，但在每一個計算步驟中，兩塊體間沒有作用力，也沒有應力的傳遞。在塊體相互接觸的同時，塊體接觸面的相互作用力也開始作用。
兩相鄰塊體之間的接觸形態可分為六種：角-角接觸(vertex-to-vertex contact)；角-邊接觸(vertex-to-edge contact)；角-面接觸(vertex-to-face contact)；邊-邊接觸(edge-to-edge contact)；邊-面接觸(edge-to-face cont- act)；面-面接觸(face-to-face contact)。塊體接觸判別邏輯必須能夠立即判別塊體之間的各種接觸情況(例如面-邊接觸、角-面接觸等)，此項塊體接觸形態之資料在選擇適當的接觸面物理性質時非常重要。此外塊體接觸判別邏輯必須提供一個單位法線向量，作為潛在滑動破壞面之單位法線向量，當兩塊體之間產生相對移動時，此法線向量必須隨之改變。所以三維塊體接觸判別邏輯必須提供下列資料：
(1)塊體分離時的最大裂隙。
(2)塊體接觸時的接觸形態。
(3)潛在滑動破壞面之單位法線向量。
判別兩相鄰塊體之接觸形態最簡單的方法為直接對兩塊體間所有的接觸情況進行判別。就三維塊體而言，塊體間的接觸形態有許多種，如第一個塊體（塊體A）的每一個角(vertex)、邊(edge)、面(face)必須對第二個塊體（塊體B）的每一個角、邊、面進行接觸形態的判別。假設塊體A有vA個角、eA個邊、fA個面；塊體B有vB個角、eB個邊、fB個面，則兩塊體間所有的接觸種類有：
以四面體而言，兩塊體間之接觸情況有196種，但實際上並不需要判別這麼多的接觸情況，只有角-面接觸及邊-邊接觸等兩種接觸形態必須個別加以判別。其他接觸形態可以依照邊-邊接觸與角-面接觸之組合而加以判別，分別敘述如下：
(1)角-角接觸：在塊體接觸面的同一個位置，存在三個(或以上)的角-角接觸。
(2)角-邊接觸：兩個角-面接觸形態一致。
(3)邊-面接觸：兩個塊體之間有兩個邊-邊接觸。
(4)面-面接觸：三個（或以上）之邊-邊接觸或角-面接觸。
因此，塊體間接觸形態的判別次數可以簡化成：
以四面體而言，判別次數簡化為80次。
雖然已經簡化接觸情況的判別次數，但是塊體接觸情況仍然有許多困難，舉例來說，如果塊體Ａ的角(vertex)位於塊體Ｂ的面(face)之上或之下，則塊體間之角－面接觸形態將很難加以判別。現在若將問題分成兩個部分加以討論：(1)定義一個共同平面(common plane，c-p)，此平面將平分兩塊體間的空間；(2)分別針對各塊體與共同平面之接觸情況加以判別。若兩相鄰塊體慢慢互相接近，則由各個塊體與共同平面之接觸情況，可以判別當兩塊體互相接觸時之塊體接觸形態。如此一來，將減低接觸形態判別之困難度。共同平面的技巧應用於塊體接觸判別有下列優點：
(1)只需判別各個塊體與共同平面之接觸情況。因為只要計算各塊體與共同平面間之角－面接觸的數目，即可得知塊體間之接觸形態為角－面接觸或角－邊接觸。
(2)判別接觸形態的次數與每一個塊體的角數呈線性關係。因為只需判別各塊體之角與共同平面之接觸情況，所以判別次數進一步簡化成：。以四面體而言，判別次數為8次。
(3)不須特意去判別兩相鄰塊體是否接觸。因為若塊體各自與共同平面接觸，則兩塊體必互相接觸；如果塊體沒有接觸，則其與共同平面之間亦無接觸。
(4)不須另外計算塊體接觸面之單位法線向量。因為共同平面之單位法線向量即為塊體接觸面之單位法線向量。
接著，必須定義出每個計算時階中共同平面之參考位置。假設共同平面位於兩塊體之形心連線的中點，所以共同平面之單位法線向量指向形心連線之方向。則：
其中，Zi=Bi-Ai；z2=ZiZi；ni為c-p的單位法線向量；Ci為c-p的參考位置；Ai為塊體Ａ之形心座標；Bi為塊體Ｂ之形心座標。不論兩相鄰塊體之形狀或方位為何，共同平面將位於兩塊體之滑動平面的位置上，當兩塊體互相接近時，共同平面將位於兩塊體間距之中點，因此可容易地求出兩塊體間之裂隙(gap)。共同平面之參考位置定出來之後，視塊體之接觸情況(分離或接觸重疊)加以調整：若兩塊體為分離狀態時，以某一點為中心移動或旋轉；若兩塊體為接觸或重疊時，以接觸面之正向應力及剪應力的作用點為中心移動或旋轉。塊體接觸形態的判別是一件非常重要的工作，因為塊體接觸形態與接觸面之力學行為有關。舉例來說，角－面接觸形態的力學行為與面－面接觸形態之力學行為有顯著的差異，在岩石力學中，面－面接觸形態視為節理，所以應力的計算比外力更加重要，必須求出塊體的接觸面積，以便能夠使用應力－位移法則計算接觸面之力學行為。兩相鄰塊體接觸形態之判別，可經由計算各塊體與共同平面(c-p)之角－面接觸的數目來決定塊體接觸形態。如表4-1所示。在本章所探討的範例中，經由實際執行程式的結果發現：次級塊體的數目及接觸情況對岩體模型之強度有顯著的影響。
經4-2-2節的塊體接觸形態判別後，接下來要處理塊體之間的作用力及塊體的變形，3DEC採用動態計算法，以顯性有限差分法(explicit finite difference method)處理塊體之運動方程式。為了能夠更精確地求出岩體之潛在破壞模式，在每一個時階計算中，必須以前一個時階計算所得之塊體變形及接觸力作為下一個時階計算之邊界條件，再應用適當的材料組成律求解新的塊體接觸力及變形。兩相鄰塊體間共同平面(c-p)的單位法線向量即為塊體接觸面之單位法線向量，c-p的位置與方向可由式(3)求得(設c-p的單位法線向量由塊體Ａ指向塊體Ｂ)，而塊體間之接觸力沿著c-p的單位法線向量作用。以下分別討論剛體岩塊及可變形體岩塊之塊體接觸力。
就剛體岩塊而言－在接觸面上塊體的相對速度Vi為：
其中，、為塊體Ａ及塊體Ｂ的形心位置向量；Ci為c-p的參考位置向量；、為塊體Ａ及塊體Ｂ的移動速度；、為塊體Ａ及塊體Ｂ的相對角速度；為三階張量式(i,j,k=1~3)。接觸面之位移向量增量為：
沿著c-p，可將式(5)求得之接觸面之位移向量增量分解成正向位移增量：
及剪力位移增量：
其中，ni為c-p之單位法線向量。由於在每個時階計算中必須重新計算c-p之單位法線向量，所以接觸面上之剪力必須修正為：
其中，為前一個時階計算中c-p之單位法線向量。求得接觸面之位移增量後，應用力－位移法則可求得接觸面上正向力之增量為：
及接觸面上剪力之增量為：
其中，Kn為接觸面之正向勁度；Ks為接觸面之剪力勁度；Ac為塊體之接觸面積。在下一個時階計算中，接觸面上之正向力及剪力為：
在塊體接觸面的材料組成律方面，3DEC採用庫倫摩擦準則來計算節理的張力強度，若節理張力強度大於接觸面上之正向力，則接觸面上之正向力與剪力為零；若若節理張力強度小於接觸面上之正向力，則接觸面之最大剪力為：
其中，c為節理凝聚力；f 為節理摩擦角。接觸面剪力之絕對值為：
若，則接觸面剪力必須作下列修正：
就可變形體岩塊而言－當可變形岩塊被細分成許多四面體的次級塊體時，其邊界形狀為許多三角形所組成。3DEC將這些次級塊體規則化為正四面體，因此而簡化了塊體接觸之複雜性。今將兩相鄰正四面體之角－面接觸形態稱為次級接觸(sub-contact)，設為次級塊體的角與c-p之相對速度；為次級塊體的面與c-p之相對速度；則可經由同一面上三個角的速度求得：
其中，WA、WB、WC為共面角的速度之權重因子。若此平面垂直z軸，則權重因子為：
同理可得WB、WC。若次級塊體Ａ與c-p為角－面接觸；而次級塊體Ｂ與c-p為面－面接觸，由於c-p的單位法線向量由次級塊體Ａ指向次級塊體Ｂ，所以次級塊體Ａ對於次級塊體Ｂ之相對速度為：
次級接觸的相對位移增量為：
沿著c-p，可將式(16)求得之次級接觸的相對位移增量分解成正向位移增量：
由式(17a)及式(17b)可求得次級接觸之正向力增量：
及剪力之增量：
其中，Kn為接觸面之正向勁度；Ks為接觸面之剪力勁度；Ac為塊體之接觸面積。在下一個時階計算中，次級接觸面之正向力及剪力為：
3DEC對於可變形岩塊之節理基本組成模式採用庫倫摩擦準則。在彈性範圍岩體之力學行為由節理的正向勁度與剪力勁度控制如式(18a)及式(18b)所示。節理面之最大張力為：
其中，Ｔ為節理張力強度。最大剪力為：
其中，c為節理凝聚力；f 為節理摩擦角。
無論在塊體次級接觸發生張力或剪力破壞，其接觸面之張力強度及節理凝聚力皆等於零。即：
由式(22)及式(23)所引起的瞬間強度損失即為造成節理位移軟化(displacement weakening)行為之主要原因。接觸面新的作用力必須作下列之修正：
張力破壞：
剪力破壞：
式(25)中剪力的絕對值為：
3DEC對於節理作用力之計算，主要是根據應力－位移關係式(stress-displacement relation)。在節理材料組成模式方面，3DEC提供三種節理材料組成模式：
(1)點接觸之庫倫滑動模式：此模式主要是假設節理面之接觸面積很小，通常使用於岩塊間接觸較不緊密之岩體。
度值及節理面之摩擦角、凝聚力、張力強度等來描述節理面性
質，通常用於分析岩塊間接觸較緊密之岩體。此模式中若節理面發生剪力或張力破壞時，其張力強度與節理凝聚力將自動設為零。
(3)連續降伏模式：此模式之節理強度隨著節理之塑性剪位移增加而降低，可模擬節理峰後之應力－應變行為。
在4-4節中，本研究所採用的節理組成模式為連續降伏模式，所以就連續降伏模式加以討論。節理面正向應力增量為：
其中，節理面正向勁度表示成，與en為自定之參數。在剪應力方面剪應力應變行為,其剪應力增量為：
其中，節理面剪力勁度表示成，與es為自定之參數；；峰後剪應力應變曲線之瞬時斜率與F有關；F與實際剪應力應變曲線到邊界強度曲線()之距離有關(F=0~1)；r通常設為0.75以避免當剪應力趨近於邊界強度時所造成的數值不連續情況。其中，邊界強度可表示成：
其中，為節理面有效摩擦角。當節理面發生節瘤磨損或損傷時，節理面有效摩擦角之衰減量為：
節理面之塑性位移為：
其中，f 為節理面基本摩擦角；R為無因次材料參數，其物理意義與節理面之粗糙度相同。
由於3DEC使用顯性有限差分法計算岩體受力後的狀態，因此時階(timestep)的大小將會影響數值分析之穩定性，3DEC程式主要根據完整岩塊變形之穩定及完整岩塊滑動之穩定來決定時階的大小。時階值之計算式可表示為：
其中，為岩體中最小的完整岩塊之質量；為接觸點最大之勁度值；FRAC為使用者自行調整之值，若無設定此參數值則程式內定為0.1。
3DEC提供一「Jset」指令給使用者以建立一個三維的節理岩體模型，在此岩體模型中可以變化節理的數目、傾角、間距、連續度等幾何條件，也可以改變節理的正向勁度、剪力勁度、摩擦角及張力強度等力學參數。所以，使用者可以在3DEC中建立含有不同節理形態之三維岩體，以供研究岩體力學行為。
3DEC中以「Jset」指令建立一個三維節理岩體之幾何模型在其功能下必須搭配下列六個參數：(1)傾角方向(dip direction，dd)；(2)節理傾角(dip angle，dip)；(3)節理數目(number of joint，N)；(4)節理間距(spacing between joints，S)；(5)節理連續度(persistence，P)；(6)每一條節理的起始位置(location point for all joints，Org)。其中節理之模擬方式：第一種方式可以輸入某一條節理之起始點作基準，3DEC將以輸入的節理數目及間距等參數值，配合岩體模型之幾何形狀自動產生其他平行的節理。第二種方式亦可獨自輸入各條節理之起始點，使用者可自行選擇節理之間距及數目(見附錄舉例)。在節理連續度方面：3DEC係以統計之概念將岩橋平均分佈於節理面上。例如，有一連續度0.5之非連續性節理，則3DEC把以不連續面作為邊界的次級塊體之50%視為節理，並不考慮岩橋與節理之相對位置。輸入資料中岩體模型之建立步驟為：(1)設定岩體之尺寸；(2)輸入節理傾角、走向、起始點、數目、間距及連續度等參數；(3)輸入完整岩石及節理之力學參數；(4)設定應力及應變之觀測點；(5)設定岩體之邊界條件等五大部份。
進一步資料來源
楊長義,陳志民,陳錦清(1997,10), “個別元素法於三維岩體力學行為之應用”，八十六年
電子計算機於土木水利工程應用論文研討會，第 417-428 頁，新竹。
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